辺と面積 - ラシウラ

やってみた。

図から、面積が1減るごとに内部の四角が四つ隣接してる交点がひとつ減っているのに気がつく。これで法則があること自体が明白。

図にはないけど、そこから面積を1減らすと辺が2減る

で、方程式は

この交点ってなんだろうというと、面積15でマスをひとつうごかして交点をへらすと、くっついてる辺が分かれて2つ辺ができる。つまり、同じ面積で考えると

と等価ということになるだろう。

ということで、辺と接線との関係でも面積が出せるはずである。
式はともかく、上のように、辺数と接線数と面積の対応関係を列挙すると、

交点0の面積 a = (辺-2)/2と置くと、その面積aから1引いた値から、交点が増えるごとに接線が2ふえる。接線数は、 (a-1) + 2*交点数、よって

結論は、

ってことにもなる。ちなみに交点数は、(2*接線-辺+4)/4になるらしい。

ここまでは簡単に法則がみつかるけど、同じ正方形の集まり以外のばあいはまだ考えてない。

これって正方形じゃなくても、正三角形や正六角形でも同じような関係があるだろう。正ほにゃららじゃなくても、同じ図形なら辺ごとの区別でできそうだ。

というか詰っていなくても、たとえば円のようなものでも、接点数と外周で面積は決まるように思える。

あと面積だけじゃなくて、３次元空間での体積でも同じように関係付けられると思う。

この関係は、前提としてわっか(中に空き穴がない)になってないときに成り立つね。

かな