数学クイズをやる
の終わりのクイズ
関数にすると、
- a(0) = 1
- a(n) = sqrt(2 * a(n - 1))
直感的には、nが増えるごとに1からちょっとづつ増加しいくが、sqrt(2x2)=2 は超えられないので2。
グラフで示すと、
(A) y = sqrt(x)と (B) y = x / 2のグラフを同じ場所に書いて、x=1 -> (Aにぶつかる点) y = 1 -> (Bにぶつかる点) x = 2 -> (Aにぶつかる点) y = sqrt(2) -> (Bにぶつかる点) x = 2*sqrt(2) -> (Aにぶつかる点) y = sqrt(2*sqrt(2)))->...という風にやっていけばジグザグの線が引ける。上向きの線のyの値がa(n)になっている。
これを続けていけば、二つのグラフの交点y=2(,x=4)に収束することは自明。
この漸化式の極限のジグザグは、本来はそのままの式y=sqrt(2*x)と、y=xのあいだでやるもの。前側の式のグラフ化のイメージがつきにくかったので、(2*x) -> (y=x)と同等になるように、x -> (y=x/2)に変えました。単純にはグラフを横長にしただけ。
